La physique

Vecteurs


Déterminé par un segment orienté AB, c'est l'ensemble de tous les segments orientés AB.

Si nous indiquons Avec cet ensemble, nous pouvons écrire symboliquement:

XY est n'importe quel segment de l'ensemble.

Le vecteur déterminé par AB est indiqué par ou B - A ou .
Même vecteur Il est déterminé par une infinité de segments orientés, appelés représentants de ce vecteur, qui sont tous équipolents les uns des autres. Ainsi, un segment détermine un ensemble qui est le vecteur, et n'importe lequel de ces représentants détermine le même vecteur. En utilisant un peu plus notre capacité d'abstraction, si nous considérons tous les segments orientés infinis d'origine commune, nous caractérisons, à travers des représentants, la totalité des vecteurs de l'espace. Maintenant, chacun de ces segments est représentatif d'un seul vecteur. Par conséquent, tous les vecteurs sont représentés dans cet ensemble que nous imaginons.

Les caractéristiques d'un vecteur ils sont les mêmes que n'importe lequel de ses représentants, c'est-à-dire que le module, la direction et la direction du vecteur sont le module, la direction et le sens de l'un de ses représentants.

Le module de est indiqué par || .

Somme de vecteurs

Si v = (a, b) et w = (c, d), on définit la somme de v et w par:

v + w = ​​(a + c, b + d)

Propriétés Sum Sum

Différence vectorielle

Si v = (a, b) et w = (c, d), on définit la différence entre v et w par:

v - w = (a-c, b-d)

Produit d'un nombre scalaire par un vecteur

Si v = (a, b) est un vecteur et c est un nombre réel, nous définissons la multiplication de c par v comme:

c.v = (ca, cb)

Propriétés du produit scalaire vectoriel

Quels que soient les scalaires k et c, v et w:

Module d'un vecteur

Le module ou la longueur du vecteur v = (a, b) est un nombre réel non négatif, défini par:

Vecteur d'unité

Le vecteur unitaire est celui dont le module est égal à 1.

Il existe deux vecteurs unitaires qui forment le base canonique pour l'espace R², qui sont donnés par:

i = (1,0) j = (0,1)

Pour construire un vecteur unitaire u qui a la même direction et la même direction qu'un autre vecteur v, divisez simplement le vecteur v par son module, c'est-à-dire:

Remarque:
Pour construire un vecteur u parallèle à un vecteur v, il suffit de prendre u = cv, où c est un scalaire non nul. Dans ce cas, u et v sera parallèle:

Si c = 0, alors u sera le vecteur nul.
Si 0 <c <1, alors u sera inférieur à v.
Si c> 1, alors u sera plus long que v.
Si c <0, alors u aura la direction opposée de v.

Décomposition vectorielle dans des vecteurs simples

Pour effectuer des calculs vectoriels dans un seul des plans dans lesquels il se présente, on peut décomposer ce vecteur en vecteurs unitaires dans chacun des plans présentés.

Étant symbolisé, par convention, î comme vecteur unitaire de l'avion x et comme vecteur unitaire de l'avion y. Si le problème à résoudre est donné en trois dimensions, le vecteur utilisé pour l'avion z est le vecteur unitaire .

Donc, la projection du vecteur sur l'axe x du plan cartésien sera donnée par , et sa projection sur l'axe y du plan sera: . Ce vecteur peut s'écrire:

=(,), en respectant que toujours la première composante entre parenthèses est la projection en x et le second est la projection sur l'axe y. Si un troisième composant apparaît, ce sera le composant d'axe. z.

Dans le cas où le vecteur n'est pas à l'origine, vous pouvez le redessiner pour qu'il soit à l'origine ou actualiser la partie du plan où le vecteur n'est pas projeté.

Produit scalaire

Etant donné les vecteurs u = (a, b) et v = (c, d), nous définissons le produit scalaire entre les vecteurs u et v comme le nombre réel obtenu par:

u.v = a.c + b.d

Exemples:

Le produit scalaire entre u = (3,4) et v = (- 2,5) est:

u.v = 3. (-2) + 4. (5) = -6 + 20 = 14

Le produit scalaire entre u = (1,7) et v = (2,3) est:

u.v = 1. (2) + 7. (- 3) = 2-21 = -19

Propriétés du produit scalaire

Quels que soient les vecteurs, u v et w et k montée:

Angle entre deux vecteurs

Le produit scalaire entre les vecteurs u et v peut s'écrire:

u.v = | u | | v | cos (x)

où x est l'angle formé entre u et v.

Grâce à cette dernière définition de produit scalaire, nous pouvons obtenir l'angle x entre deux vecteurs génériques u et v, tels que,

tant qu'aucun d'eux n'est nul.


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